DE19945123C2 - Verfahren zum Navigieren eines Fahrzeugs - Google Patents

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Navigieren ei­ nes Fahrzeugs, bei dem mit Hilfe von Sensoren ein Vek­ tor einer zurückgelegten Strecke aus Richtung und Länge ermittelt wird, mit Hilfe mehrerer Vektoren eine Posi­ tion des Fahrzeugs bestimmt wird und die Position auf einer Landkartenposition abgebildet wird, wobei unter vorgegebenen Bedingungen eine Korrektur der vom Sensor ermittelten Richtung mit Hilfe einer anhand der Land­ karte ermittelten Richtung vorgenommen wird, wobei bei Auftreten einer Richtungsdifferenz zwischen Sensor und Landkarte die Richtungsdifferenz oder die ihr zugrunde liegenden Größen einer Plausibilitätskontrolle unter­ worfen werden, bei der man prüft, ob es möglich ist, daß das Fahrzeug diese Richtung eingenommen hat, wobei man einen möglichen Maximalfehler abschätzt und eine Korrektur dann nicht vornimmt, wenn der abgeschätzte Maximalfehler kleiner als die Richtungsdifferenz ist.

Eine Navigation, bei der die aktuelle Position des Fahrzeugs dadurch bestimmt wird, daß man ausgehend von einem Startpunkt fortlaufend Richtung und Größe einer Bewegung ermittelt, wird auch als "Koppelnavigation" oder "dead reckoning" bezeichnet. Unter der Vorausset­ zung, daß man die Richtung und die in dieser Richtung zurückgelegte Entfernung relativ genau bestimmen kann, erhält man auch eine relativ genaue Positionsbestim­ mung. Wenn man eine derartige Positionsbestimmung mit einer Frequenz von 5 Hz vornimmt, dann sind die einzel­ nen Vektoren, d. h. die Teilstrecken, deren Richtung und Länge man bestimmt, mit einer Größenordnung im Meterbe­ reich klein genug, um eine quasi kontinuierliche Posi­ tionsbestimmung vornehmen zu können.

Die Sensoren, die zur Bestimmung der Richtung und der Entfernung notwendig sind, arbeiten allerdings überwie­ gend mit einem gewissen Fehler. Dies gilt vor allem für die Richtungssensoren, die heute überwiegend als Gyro­ skopen ausgebildet sind. Ein Gyroskop gibt ein als "Drift" bezeichnetes Ausgangssignal mit einer Gleich­ spannung einer vorbestimmten Höhe ab, solange sich das Fahrzeug geradeaus bewegt. Wenn sich seine Richtung nach links oder nach rechts ändert, dann steigt oder sinkt die Spannung in Abhängigkeit von der Winkelge­ schwindigkeit bei der Änderung. Durch eine Integration dieses Signals über der Zeit kann man den Winkel der Richtungsänderung ermitteln.

Da Gyroskopen aber im Normalfall einen Driftfehler auf­ weisen, kann es durchaus vorkommen, daß das Navigati­ onssystem eine Richtungsänderung annimmt, obwohl tat­ sächlich keine Richtungsänderung erfolgt ist. In glei­ cher Weise kann bei einer Richtungsänderung ein fal­ scher Winkel ermittelt werden.

Um diesem Problem abzuhelfen, verwendet man eine Kon­ trollmöglichkeit. Diese besteht darin, daß man den Weg des Fahrzeugs auf einer Landkarte verfolgt. Die Land­ karte ist hierbei in einer Datenbank oder einem anderen geeigneten Datenformat gespeichert. Man nimmt hierbei an, daß sich das Fahrzeug auf einer Straße befindet, wenn sich eine derartige Straße in der Nähe der durch die Koppelnavigation bestimmten Position befindet. Ein derartiger Vorgang wird auch als "map matching" und der diese Abbildung durchführende Teil des Navigationssy­ stems als "map matcher" bezeichnet.

Durch die Kombination der Koppelnavigation mit der Kon­ trolle über die Landkartenpositionen erreicht man rela­ tiv hohe Genauigkeiten bei der Bestimmung der Position des Fahrzeugs. Hinzu kommt, daß man aus der Folge der auf der Landkarte bestimmten Positionen Rückschlüsse darauf ziehen kann, ob beispielsweise der Richtungssen­ sor mit der nötigen Zuverlässigkeit arbeitet. Darüber hinaus kann man dann, wenn man die Richtung des Fahr­ zeugs auf der Landkarte bestimmt hat, diese Richtung für die Bestimmung des nächsten Vektors verwenden. Ein derartiges Rücksetzen der Fahrzeugrichtung auf den durch Landkartenpositionierung erzielten Wert wird bei­ spielsweise immer dann vorgenommen, wenn seit der letz­ ten Richtungsänderung mindestens 3 sek. verstrichen sind.

Diese Vorgehensweise hat allerdings den Nachteil, daß durch das Rücksetzen auf die mit Hilfe der Landkarte ermittelten Richtung ein neuer Fehler auftreten kann, der das Positionierungsergebnis unter Umständen erheb­ lich verschlechtert.

Hierbei geht man nun zunächst davon aus, daß bei einer Übereinstimmung der durch den Sensor bestimmten Rich­ tung und der über die Landkarte bestimmten Richtung kein Korrekturbedarf besteht. Wenn eine solche Rich­ tungsdifferenz aufgetreten ist, dann scheint ein Kor­ rekturbedarf zu bestehen. Man setzt in diesem Fall aber nicht einfach die neue für die Koppelnavigation verwen­ dete Richtung gleich der Richtung, die über die Land­ karte ermittelt worden ist, sondern man prüft zunächst einmal, ob es überhaupt möglich ist, daß das Fahrzeug diese Richtung eingenommen hat. Gegebenenfalls prüft man, ob eine bestimmte Wahrscheinlichkeit dafür be­ steht. Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, wird die Korrektur vollzogen.

Man geht hierbei zunächst von der Annahme aus, daß der Fehler primär auf den Fehler des Richtungssensors zu­ rückzuführen ist. Hier kann man nun abschätzen, wie hoch dieser Fehler maximal sein kann. Wenn die Rich­ tungsdifferenz noch größer als dieser Maximalfehler ist, dann besteht eine große Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Fehler nicht oder nicht nur von dem Richtungs­ sensor verursacht worden ist, sondern möglicherweise die Abbildung auf die Landkarte fehlerbehaftet ist.

In DE-OS 198 03 662 A1 ist ein Navigationsverfahren be­ schrieben, bei dem ein Mikroprozessor Entfernungs- und Richtungssignale von fahrzeugfesten Sensoren erhält. Aus den empfangenen Signalen werden Vektoren gebildet, die zur Positions- und Richtungsbestimmung aufsummiert werden. Außerdem erfolgt ein Vergleich einer auf diese Weise errechneten Position oder Ausrichtung mit einer mit dieser korrespondierenden wahrscheinlichen Position oder Straßenausrichtung auf einer Straßenkarte. Mit Hilfe eines Durchschnittswertes von Abweichungen, die bei diesem Vergleich berechnet werden, wird ein Korrek­ turwert ermittelt. Dieser wird bei nachfolgenden Kop­ pelnavigationen angewandt, um eine genauere Position oder Ausrichtung zu ermitteln. Ferner finden in einer bevorzugten Ausführungsform sprunghafte Änderungen von Abweichungen keinen Niederschlag auf den Korrekturwert. Hierzu wird eine Grenze für die Differenz einer neu zu speichernden Abweichung im Verhältnis zu den schon ge­ speicherten Abweichungen definiert.

In EP 0 602 013 A2 ist eine Kalibrierungsvorrichtung eines fahrzeugfesten Winkel-Geschwindigkeits-Sensors zur Richtungsbestimmung eines Fahrzeugs beschrieben. Diese ermittelt durch Koppelnavigation eine berechnete Ausrichtung und eine hierzu korrespondierende wahr­ scheinliche Ausrichtung des Fahrzeugs aus Straßennetz­ daten ("map-matching"). Die zu einem Zeitpunkt ermit­ telte Differenz dieser beiden Werte wird über eine vor­ bestimmte Distanz jeweils zu den vorangegangenen Diffe­ renzwerten zuaddiert. Nach einer vorbestimmten Strecke wird überprüft, ob die aufsummierten Differenzwerte über einen Grenzwert hinausgehen. Wenn ja, dann wird ein Fehler pro Einheitsdistanz ermittelt und im weite­ ren von den jeweiligen ermittelten Richtungssignalen abgezogen. Mit diesen verbesserten Richtungssignalen wird wiederum eine neue korrespondierende Ausrichtung entsprechend der Straßennetzkarte ermittelt. Gehen die aufsummierten Differenzwerte dagegen nicht über einen Grenzwert hinaus, beginnt eine neue Aufsummierung von Distanzwerten ohne neue Korrektur der Richtungssignale.

In EP 0 391 647 A2 ist ein fahrzeugfestes Nagivations­ system beschrieben, das nach dem gleichen Prinzip wie die Kalibrierungsvorrichtung aus EP 0 602 013 A2 arbei­ tet.

In DE-OS 195 36 601 A1 ist ein Navigationssystem insbe­ sondere für Landfahrzeuge dargestellt. Dieses weist als fahrzeugfeste Sensoren einen Weggeber, einen einachsi­ gen Kreisel und zwei Beschleunigungsmesser auf. Mit den Daten der Sensoren wird eine Koppelnavigation durchge­ führt. Zur Stützung von Kurs und Position werden Stüt­ zinformationen über einen GPS-Empfänger oder über abge­ speicherte Karteninformationen bereit gestellt. Die Stützinformationen werden mit den durch die Koppelnavi­ gation ermittelten Werten verglichen. Hierbei ermittel­ te Differenzen werden einem Kalman-Filter zugeleitet. Über diesen werden Korrekturwerte für die Ausgabegrößen des Navigationssystems und für die Kalibration der Meßeinrichtungen geschätzt. Der Kalman-Filter weist hierbei einen Teilfilter auf, der zur Positions- und Azimutkorrektur dient und als Positionsfilter bezeich­ net wird. Jede dem Positionsfilter zugeführte Stützpo­ sition wird auf Plausibilität geprüft. Bei Erfüllung wird die Stützung durchgeführt. Bei Nichterfüllung wird das Navigationssystem mit der Stützposition initiali­ siert und der Positionsfilter in einen definierten De­ fault-Status versetzt.

In DE-OS 34 34 896 A1 ist ein Navigationsverfahren be­ schrieben, das fahrzeugfeste Weg- und Kurssensoren auf­ weist. Vor Beginn einer Fahrt werden Zwischenziele mit signifikanten Kursänderungen eingegeben und gespei­ chert. Beim Überfahren eines Zwischenzieles werden ge­ messene Daten mit den abgespeicherten Daten verglichen und ein Differenzvektor gebildet. Mit dem Differenzvek­ tor wird dann eine Anzeige der Informationen korri­ giert.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, die fortlau­ fende Positionsbestimmung zu verbessern.

Diese Aufgabe wird bei einem Verfahren der eingangs ge­ nannten Art dadurch gelöst, daß der Maximalfehler ge­ bildet wird durch ein Produkt aus einem Fehlerwert und der Zeit seit der letzten Korrektur.

Wie oben erwähnt, gibt der Richtungssensor ein von ei­ nem vorbestimmten Mittelwert abweichendes Signal ab, wenn und solange das Fahrzeug eine Richtungsänderung vollführt. Im Fehlerfall weicht das Signal um den Fehlerwert vom Mittelwert ab, auch wenn das Fahrzeug keine Richtungsänderung vollführt, sondern geradeaus fährt. Der maximale Fehler kann dann nicht größer sein als das Integral dieses Fehlerwertes über der Zeit und gegebenenfalls eines Anfangsfehlers, der sich bei der letzten Korrektur möglicherweise ergeben hat und der beispielsweise als Schätzwert vorgegeben werden kann. Wenn die Richtungsdifferenz größer ist, liegt der Feh­ ler nicht oder nicht nur am Richtungssensor. In diesem Fall muß eine Korrektur unterbleiben.

Vorzugsweise wird der Maximalfehler gebildet durch das Produkt zuzüglich eines geschätzten Fehlerwertes aus der letzten Richtungskorrektur.

Vorzugsweise wird der Fehlerwert aus vorangegangenen Korrekturen ermittelt. Damit ergibt sich eine dynami­ sche Anpassung des Fehlerwertes. Man kann hierbei bei­ spielsweise berücksichtigen, daß sich der Fehlerwert mit der Zeit ändert, beispielsweise aufgrund sich än­ dernder Betriebsbedingungen. Viele Richtungssensoren haben eine gewisse Temperaturabhängigkeit.

Vorzugsweise wird der Fehlerwert gefiltert. Dies er­ laubt eine noch wirksamere Ermittlung des Fehlerwertes. Da unter Umständen die Richtungsbestimmung mit Hilfe der Landkarte ebenfalls von Zeit zu Zeit Fehler aufwei­ sen kann, haben derartige "Ausreißer" nur einen vermin­ derten Einfluß auf den später tatsächlich verwendeten Fehlerwert.

Auch ist von Vorteil, wenn man die Landkarte nach Al­ ternativen durchsucht, für die die Richtungsdifferenz kleiner ist. In manchen Fällen entsteht der Fehler ein­ fach dadurch, daß der "map matcher" auf ein falsches Datenbanksegment zugreift. Wenn hier von "Landkarte" die Rede ist, dann ist damit immer die in Form von Da­ tensätzen oder Datenbanksegmenten abgespeicherte Form gemeint. Bei Zugriff auf ein falsches Datenbanksegment und dem sich daraus ergebenden Fehler kann man in be­ nachbarten Datenbanksegmenten nachschauen, ob sich dort möglicherweise eine bessere Übereinstimmung finden läßt. Benachbarte Datenbanksegmente sind solche, die Koordinatenbereiche beinhalten, die einander in Wirk­ lichkeit benachbart sind. Die Segmente selbst müssen physikalisch oder adressmäßig nicht benachbart sein.

Die Erfindung wird im folgenden in Verbindung mit der Zeichnung beschrieben. Hierin zeigen:

Fig. 1 einen ersten Fall für eine Plausibilitätsprü­ fung,

Fig. 2 einen zweiten Fall für eine Plausibili­ tätsprüfung und

Fig. 3 einen dritten Fall.

In allen drei Figuren ist eine Straße 1 dargestellt, auf der sich ein nicht näher dargestelltes Fahrzeug be­ wegt. Die Straße 1 existiert zum einen in Wirklichkeit, d. h. auf der Erdoberfläche. Zum anderen existiert sie virtuell als System von Koordinaten, die beispielsweise in einer Datenbank abgelegt sind. Letztere werden ver­ wendet, um die Position des Fahrzeugs nachzubilden.

Mit einer gestrichelten Linie ist ein Verlauf 2 von Po­ sitionen 3 dargestellt, die ein ebenfalls nicht näher dargestelltes Navigationssystem mit Hilfe einer Koppel­ navigation oder einem als "dead reckoning" bezeichneten Verfahren ermittelt. Die Striche des gestrichenen Verlaufs 2 sollen hierbei Vektoren andeuten, die bei­ spielsweise mit einer Frequenz von 5 Hz aus einer Rich­ tung, in die das Fahrzeug fährt, und einer Entfernung, die das Fahrzeug in dem betreffenden Intervall zurück­ legt, ermittelt werden. Sowohl für die Richtungsbestim­ mung als auch für die Entfernungsmessung sind im Fahr­ zeug Sensoren vorgesehen. Der Richtungssensor wird bei­ spielsweise durch ein Gyroskop gebildet. Bei einer Ge­ schwindigkeit von 50 km/h beträgt die Länge eines Vek­ tors etwa 2,8 m.

Man kann nun nach jeder Vektorbestimmung ein "map matching" durchführen, also das entsprechende Daten­ banksegment ermitteln, das die Koordinaten enthält, die der durch Koppelnavigation bestimmten Position 3 am nächsten liegen und von der Richtung her am besten pas­ sen. Wenn eine derartige Bedingung erfüllt ist, dann schaltet der "map matcher", also der Teil des Navigati­ onssystems, der die Abbildung auf die virtuelle Straße vornimmt, auf den Zustand "on road". In diesem Fall wird angenommen, daß sich das Fahrzeug auf der Straße befindet. Die Richtung der Straße, die sich anhand der gespeicherten Landkarte relativ genau bestimmen läßt, wird in diesem Fall auf Übereinstimmung geprüft mit der Richtung des Vektors. Man kann nun von Zeit zu Zeit ei­ nen Abgleich vornehmen. Bedingungen hierfür sind bei­ spielsweise, daß die Abbildungen auf die Datenbank min­ destens 40 m und mindestens 3 sek. gültig ist. Man kann auch Statistiken auswerten, d. h. eine lineare Regressi­ on von Differenzen zwischen den einzelnen durch Koppel­ navigation ermittelten Richtungen und Datenbank- Richtungen über die Zeit vornehmen und die Standardab­ weichung ermitteln. Wenn die ermittelte Standardabwei­ chung von der Standardabweichung des Gyroskopen ab­ weicht, insbesondere größer ist, dann wird keine Korrektur vorgenommen. Man nimmt in diesem Fall an, daß das Fahrzeug nicht geradeaus gefahren ist. Wenn eine Korrektur vorgenommen wird, dann wird die Richtung für die Koppelnavigation auf den Wert gesetzt, der sich aus der Landkarte ergibt. Man wird diese Korrektur, wie ge­ sagt auch darauf beschränken, daß das Fahrzeug keine Kurve gefahren ist, so daß die Richtungskorrektur nur bei Geradeausfahrten erfolgt. Die Geradeausfahrt kann auch auf andere Weise ermittelt werden.

Besonders zuverlässig wird die Kontrolle dann, wenn al­ le drei Bedingungen erfüllt sind, nämlich Geradeaus­ fahrt, gültige Abbildung und kleine Standardabweichung.

In der Zeichnung sind nun einige Problemfälle darge­ stellt, die sich bei diesem Verfahren ergeben können.

Fig. 1 zeigt eine Situation, in der der Verlauf 2 zwar an und für sich mit dem Verlauf der Straße 1 überein­ stimmt. Mit der Koppelnavigation hinkt man jedoch hin­ ter dem Verlauf der Straße hinterher, so daß bei einer Kurve 4 auf einmal ein größerer Fehler auftritt. Beim Abgleichen auf die virtuelle Landkarte wird in diesem Fall ein falsches Datensegment verwendet.

Wenn also zum Zeitpunkt t1 eine Korrektur der Richtung für die Koppelnavigation vorgenommen wurde, dann stimmt die Richtung zu diesem Zeitpunkt noch. Zum Zeitpunkt t2 würde man jedoch eine Korrektur auf "Geradeausfahrt" vornehmen, was zu einer Verschlechterung der Positions­ bestimmung führen würde.

Man nimmt daher eine Plausibilitätskontrolle vor, bevor man eine Korrektur im Zeitpunkt t2 durchführt.

Bei der in Fig. 1 dargestellten Situation zeigt der Richtungssensor an, daß das Fahrzeug eine Kurve gemacht hat. Die durch Vergleich mit der Landkarte ermittelte Richtung wäre geradeaus. Man überprüft nun, ob die über die Landkarte ermittelte Richtung überhaupt möglich ist. Hierzu billigt man dem Richtungssensor einen ge­ wissen Fehler zu, beispielsweise 0,05°/sek. Diesen Fehler kann man aus vorangegangenen Korrekturen ermit­ teln. Wenn man beispielsweise in der Vergangenheit nach 10 sek. die Richtung um 0,5° korrigieren mußte, dann kann man die Fehlergröße mit 0,05°/sek. durchaus an­ nehmen. Man kann die einzelnen bei Korrekturen ermit­ telten Fehlerwerte auch noch filtern, um eine größere Gleichmäßigkeit zu erreichen.

Im in Fig. 1 dargestellten Fall ist zwischen t1 und t2 eine Spanne von 15 sek. verstrichen. Dies würde einen Fehler von 0,75° plus gegebenenfalls eines geschätzten Ausgangsfehler von beispielsweise 2° aus der letzten Korrektur, zusammen also 2,75° ermöglichen. Tatsächlich liegt die Abweichung zwischen der Landkartenrichtung und der Koppelnavigationsrichtung aber bei 15°. In die­ sem Fall wird ausgeschlossen, daß der Fehler aus­ schließlich auf die Koppelnavigation zurückzuführen ist und eine Korrektur unterbleibt.

Fig. 2 zeigt eine andere Situation. Der Verlauf 2 der durch Koppelnavigation bestimmten Positionen 3 verläuft seitlich neben der Straße 1 und parallel zu ihr. An ei­ nem Abzweig 5 zweigt eine Nebenstraße 6 ab und zwar in die Richtung, wo auch der Verlauf 2 liegt. Dementspre­ chend wird der Abstand der Positionen 3 zu der Straße 6 kleiner, so daß der "map matcher" annimmt, daß sich das Fahrzeug nicht mehr auf der Straße 1 befindet, sondern auf die Straße 6 abgebogen ist. Wenn man nun zum Zeitpunkt t2 eine Anpassung der Koppelnavigationsrichtung an die Straßenrichtung vornehmen würde, müßte man die Richtung ebenfalls wieder um etwa 15° ändern, obwohl der Richtungssensor im Grunde angezeigt hat, daß das Fahrzeug geradeaus gefahren ist. Auch in einem solchen Fall würde die Korrektur unterbleiben, weil die Rich­ tungsdifferenz zwischen Landkarte und Koppelnavigation größer ist als ein Fehler, der aufgrund einer Integra­ tion des größten Richtungssensorfehlers gebildet werden kann.

Nachdem der "map matcher" festgestellt hat, daß sich das Fahrzeug nicht auf der Straße 6 befindet, wendet er sich wieder der Straße 1 zu und überprüft, ob sich bes­ sere Werte ergeben, wenn er annimmt, daß das Fahrzeug dieser Straße 1 folgt. In diesem Fall kann man die Richtung wieder auf die Straße 1 korrigieren.

Fig. 3 zeigt eine Situation, wo der Verlauf 2 wiederum der Straße 1 folgt, so daß zum Zeitpunkt t1 eine Rich­ tungskorrektur möglich ist.

Das Fahrzeug biegt dann aber von der Straße 1 ab, und zwar auf eine Straße, die nicht in der Datenbank ge­ speichert ist. Aus diesem Grunde ist sie auch nicht eingezeichnet. Der "map matcher" versucht nun bis zum Zeitpunkt t2 die Position des Fahrzeugs auf die Straße 1 zu korrigieren. Da man aber eine stetige Zunahme des Abstandes beobachtet und diese stetige Zunahme nicht allein durch einen Fehler des Richtungssensors zu er­ klären ist, schaltet der "map matcher" im Zeitpunkt t2 auf "off road", so daß in der nächsten Zeit keine Kor­ rektur auf eine Landkartenrichtung erfolgt.

Claims (5)

1. Verfahren zum Navigieren eines Fahrzeugs, bei dem mit Hilfe von Sensoren ein Vektor einer zurückge­ legten Strecke aus Richtung und Länge ermittelt wird, mit Hilfe mehrerer Vektoren eine Position des Fahrzeugs bestimmt wird und die Position auf einer Landkartenposition abgebildet wird, wobei unter vorgegebenen Bedingungen eine Korrektur der vom Sensor ermittelten Richtung mit Hilfe einer anhand der Landkarte ermittelten Richtung vorgenommen wird, wobei bei Auftreten einer Richtungsdifferenz zwischen Sensor und Landkarte die Richtungsdiffe­ renz oder die ihr zugrunde liegenden Größen einer Plausibilitätskontrolle unterworfen werden, bei der man prüft, ob es möglich ist, daß das Fahrzeug die­ se Richtung eingenommen hat, wobei man einen mögli­ chen Maximalfehler abschätzt und eine Korrektur dann nicht vornimmt, wenn der abgeschätzte Maximal­ fehler kleiner als die Richtungsdifferenz ist, da­ durch gekennzeichnet, daß der Maximalfehler gebil­ det wird durch ein Produkt aus einem Fehlerwert und der Zeit seit der letzten Korrektur.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß der Maximalfehler durch das Produkt zuzüglich eines geschätzten Fehlerwertes aus der letzten Richtungskorrektur gebildet wird.

3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß der Fehlerwert aus vorangegangenen Korrekturen ermittelt wird.

4. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß der Fehlerwert gefiltert wird.

5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß man die Landkarte nach Alterna­ tiven durchsucht, für die die Richtungsdifferenz kleiner ist.